¿Cómo puedo borrar la dirección IP de la interfaz de Ethernet sin subir/bajar la interfaz o reiniciarla?

Use ip de iproute2. (Sin embargo, necesita especificar también la longitud del prefijo.)

ip addr del 10.22.30.44/16 dev eth0

Para eliminar todas las direcciones (en caso de que tenga varias):

ip addr flush dev eth0

Tan simple como ifconfig eth0 0.0.0.0. Deberían haberlo puesto en el manual.

Para eliminar todas las direcciones de todas las interfaces que usé para el bucle:

for i in $(ls /sys/class/net/) ; do
    /usr/sbin/ip addr flush $i &
done

¿Quizás sólo buscas conseguir una nueva IP del router [habilitado para DHCP]? En este caso llame al

dhclient eth0